在100扇门版本的蒙提霍尔问题中，你从100扇门里选一扇，主持人会打开98扇后面是山羊的门。如果主持人知道奖品在哪里、始终避开奖品，并只留下另一扇门不打开，那么换门的胜率是99%。这个结论并不是因为最后只剩两扇门，所以两者机会相等；关键在于，这两扇门是如何被留下来的。
让答案严谨成立的规则
采用以下规则：
- 100扇门中有一扇藏着奖品，另外99扇后面都是山羊。
- 你选择一扇门。
- 主持人知道奖品的位置。
- 主持人打开98扇你没有选择的门，并且总是打开后面有山羊的门。
- 主持人留下你选的门和另一扇门不打开。
- 如果你最初选中的门后面有奖品，主持人会在99扇符合条件、后面有山羊的门中，均匀随机地（uniformly at random）选一扇留下不打开。
最后这条规则在讨论某一扇特定剩余门的概率时很重要。它排除了主持人暗中偏好的影响。在这些规则下，游戏开始前，换门的成功率就是99/100；而看到哪一扇备选门被留下后，那扇特定的门后面有奖品的概率也是99/100。
基础概率推导
假设你选择了1号门。
主持人尚未打开任何门时：
| 奖品的位置 | 概率 |
|---|---|
| 在1号门后 | 1/100 |
| 在其余99扇门中的某一扇后 | 99/100 |
你的第一次选择完全是盲选，因此选对的概率只有1/100。你没有选的99扇门作为一个整体，藏有奖品的概率则是99/100。
现在主持人打开了98扇有山羊的门，并留下，例如73号门。
有两种可能的解释：
- 奖品在1号门后。这种情况起初的概率为1/100。此时其余每扇门后都是山羊；根据均匀随机规则，主持人以1/99的概率留下73号门。
- 奖品在73号门后。这种情况起初的概率为1/100。此时主持人只能留下73号门不打开。
当73号门后有奖品时，主持人留下73号门的可能性，是当你原先选的1号门后有奖品时的99倍。因此，在73号门被留下后，概率为：
| 最终选择 | 获胜概率 |
|---|---|
| 留在1号门 | 1/100 |
| 换到73号门 | 99/100 |
还有一种更简短的说法：只有第一次猜对时你才该不换门，而这在100局中只发生1次；第一次猜错时你就该换门，而这在100局中会发生99次。
为什么100扇门让答案更直观
想象一下：你在几乎没有任何信息的情况下做出第一次选择。从100扇门中选中唯一有奖品的一扇，本来就是小概率事件。
接着，主持人实际上是在说：“你原来的选择或许是对的。但我已经从那99扇你没有选择的门中排除了98个失败选项，而这扇留下来的门才是有意义的替代选择。”
这扇留下来的门并不只是“另一扇没打开的门”。它是一个受限制过程的结果：主持人知道奖品在哪里，而且不能把它打开。
这就是为什么100扇门版本比经典的三扇门设定更容易让人理解。主持人把99个备选项缩减为1个后，还坚持最初那次只有1%胜率的猜测，显得更难自圆其说。
一局具体的游戏过程
假设奖品在73号门后。
- 你选择1号门。
- 主持人不能打开1号门，因为这是你的选择。
- 主持人不能打开73号门，因为奖品在后面。
- 主持人打开其余所有门，展示出98只山羊。
- 73号门是唯一可选的替代门，所以换门获胜。
再来看罕见的情况：奖品在1号门后。
- 你选择1号门。
- 主持人打开98扇后面有山羊的门。
- 在可留下不打开的99扇山羊门中，主持人均匀随机地选一扇。
- 换门失败。
在100个等可能的奖品位置中，坚持原选只会在1种情况下获胜；始终换门则会在另外99种情况下获胜。
为什么“只剩两扇门，所以是50/50”是错的
最后剩下几扇门，并不会抹去此前的信息。
你的门是你在不知道奖品位置时选出的。另一扇剩余门则是主持人在知情且受限制的情况下留下的。它们通向最终两扇门局面的路径并不等价。
处理概率和备考题时，一个很有用的问题是：
> 我眼前的证据，是通过什么过程产生的？
如果知道答案的人排除了失败选项，那么他们的选择就包含信息。若开门的人不知道奖品位置，概率计算会不同，因为避开奖品将是一次幸运事件，而不是规则所保证的结果。
做一个快速模拟
你无需编写复杂代码，也能检验“始终换门”策略。每一轮随机选择奖品门和初始选择。
```text stay_wins = 0 switch_wins = 0
重复10000次： prize = 1到100之间的随机整数 first_pick = 1到100之间的随机整数
如果 first_pick == prize： stay_wins += 1 否则： switch_wins += 1
输出 stay_wins 和 switch_wins ```
进行这种比较时，你不必模拟主持人打开全部98扇门的过程。第一次选对，留在原门就赢；第一次选错，标准主持人规则保证唯一剩下的备选门就是奖品门，所以换门就赢。
你的结果不会每次都恰好是100次坚持获胜、9,900次换门获胜。随机样本会有波动。不过，经过足够多轮后，坚持的胜率应趋近于1%，换门的胜率应趋近于99%。
想更快亲手验证，可以尝试 PurrLearn 的逻辑测验中的概率或认知偏差练习，然后根据揭示前后可获得的信息解释每个结果。
一道LSAT式谬误题解析
题目
一名参赛者认为：
> “主持人打开98扇门后，只剩两扇门。既然其中一扇后面有奖品，那么每扇门获胜的概率一定相等。换门不可能提高我的胜率。”
以下哪项最直接指出了这段论证的谬误？
A. 它忽略了参赛者可能更愿意留在原门。 B. 它把主持人基于信息排除山羊门的行为，当成了随机排除。 C. 它假定奖品不可能在参赛者最初选择的门后。 D. 它没有说明奖品的货币价值。 E. 它混淆了获胜概率与主持人打开一扇门的概率。
答案：B
这段论证依据最后的画面——两扇关闭的门——便断言概率相等，却忽略了形成这一画面的选择过程。主持人知道奖品位置，会避开奖品，只展示山羊。在给定的均匀规则下，备选门之所以被留下，是因为其后藏有奖品的可能性，比因为参赛者原选门后藏有奖品而被留下的可能性高99倍。
其他选项为什么不对：
- A 讨论的是偏好，而不是概率。
- C 把问题说得太绝对。原来的门仍可能有奖品，只是概率很低。
- D 与推理无关。
- E 提到了主持人的行为，却没有指出论证中的错误假设。
这是谬误题中常见的一种模式：论证把经过选择的证据，当作中性的证据。要问清楚：什么被排除了、是谁排除的、他们知道什么。
一句话解释
可以这样说：
> 在标准的均匀主持人规则下，你最初选的门仍保有1/100的概率；而主持人留下的那扇特定门有99/100的概率，因为当你的第一次选择错误时，主持人必须保留奖品门。
常见问题
在100扇门的蒙提霍尔问题中，换门总能赢吗？
不能。初始选择正好选中奖品时，换门会输，这种情况出现的概率是1/100。第一次选择错误时，换门会赢，这种情况的概率是99/100。
为什么换门的成功率是99%？
在100个可能的奖品位置中，你的初始选择只有1个位置是正确的。其余每种情况下，主持人都必须把奖品门作为备选门留下，因此始终换门的策略会获胜。
那扇特定的剩余门真的有99/100的概率吗？
是的，前提是当你的初始选择正确时，主持人遵循上述均匀规则来决定留下哪扇山羊门。如果主持人对留下哪扇山羊门有未说明的偏好，你仍可说始终换门的胜率是99/100；但在不知道这种偏好的情况下，不能自动把99/100赋给每一扇被点名的剩余门。
如果主持人随机开门呢？
那就不是标准的蒙提霍尔问题了。不知道奖品位置的主持人可能会意外打开奖品门；而以“他们没有打开奖品”为条件重新计算，结果会发生变化。
这对LSAT或GRE推理有什么帮助？
它训练你区分结果与产生该结果的过程。这种习惯有助于处理条件概率（conditional probability）、证据筛选、抽样误差，以及那些悄悄把非随机过程当成随机过程的论证。
结论
100扇门的蒙提霍尔问题在揭示之后并不是50/50。在主持人始终展示山羊、且当你第一次选对时均匀随机选择留下哪扇门的规则下，坚持原选的胜率是1/100，换门的胜率是99/100。核心教训远不止于游戏节目：当证据经过知情者筛选时，这个筛选过程本身必须纳入推理。