三门问题测试：你到底该不该换门？

术语速查卡

条件概率（Conditional Probability）

「在已经发生 X 的前提下，Y 的概率」。三门问题的核心就是：主持人开门这件事，改变了车在各门后的条件概率——但改法不是平均分。

主持人约束（Host Constraint）

主持人不是自由人：他知道答案、必须开羊门、必须给你换的机会。整个 2/3 都是从这副镣铐里长出来的。

先验概率（Prior）

开门之前你对每扇门的信念：各 1/3。你自己那扇门的先验在知情主持人开门后纹丝不动——变的是另一扇。

Monty Fall 变体

主持人不知情、纯随机开门、碰巧开出羊——这时换不换各 1/2。一字之差，答案全变。

直觉泵（Intuition Pump）

把问题极端化让直觉自动归位的思想工具。100 扇门开掉 98 扇，你还坚持不换吗？这就是最著名的直觉泵。

等可能性偏误

「剩几个选项就平分概率」的本能。它在对称场景里好用，一遇到带信息的动作（比如知情开门）就翻车。

模拟检验（Simulation）

不服就跑一万局。vos Savant 当年发动全美课堂做的就是这个，代码或纸牌都行，结果永远是换门约 2/3。

三门问题：为什么要换门？

三门问题（Monty Hall problem，得名于美国游戏节目《Let's Make a Deal》的主持人）的规则很简单：三扇门，一扇后面是车，两扇是羊。你选一扇，知道底细的主持人打开另一扇羊门，然后问你：换不换？正确答案是换——换门赢率 2/3，不换只有 1/3。就是这个看起来「明摆着五五开」的问题，成了史上最会骗聪明人的概率题。

为什么是 2/3？别背公式，记一句话：你第一把选错的概率是 2/3，而只要你选错了，知情的主持人就被迫打开唯一剩下的羊门——等于亲手替你把车指了出来，这时换门必中。所以「换门赢」和「一开始选错」是同一件事，概率自然是 2/3。还不服？把门加到 100 扇：你选一扇，主持人开掉 98 扇羊门。你那扇门是 1/100 的幸运儿，还是主持人从 99 扇门里千辛万苦护下来的那扇门更可疑？换门赢率 99/100。三扇门只是这个逻辑的迷你版。

但 2/3 不是免费的，它站在三根柱子上：主持人知道车在哪、必须开一扇羊门、必须给你换的机会。三根柱子少一根，答案就变。最有名的反例叫 Monty Fall：如果主持人自己也不知道、纯随机开门、碰巧开出一只羊，那么换不换真的就是五五开。日常生活里大多数「像三门问题」的场景——比如《一掷千金》里随机开箱开到只剩两个——其实都是 Monty Fall，套 2/3 反而是错的。识别前提，比记住答案值钱十倍。

这道题的公案本身就是一堂认知课。最早是统计学家 Steve Selvin 在 1975 年给 The American Statistician 的读者来信里提出并算对的。1990 年，Marilyn vos Savant 在《Parade》专栏给出「换门，2/3」，随后收到约一万封来信：普通读者 92% 说她错了，大学来信 65% 反对，其中近千封来自博士。她没有认错，而是号召全美学校课堂做模拟实验，结果一边倒地支持她。1991 年 7 月 21 日，《纽约时报》头版刊出 John Tierney 的报道，为这场论战盖棺：她是对的。

为什么连受过训练的聪明人也会栽？因为大脑处理「剩下几个选项」时默认平分概率——这个捷径在对称场景里几乎总是对的，所以进化没淘汰它。但主持人开门不是中性事件，而是一个被约束的、携带信息的动作：他避开车的每一步都在泄题。条件概率恰恰是直觉最没有装备的地带，题面越日常，直觉越自信，摔得越狠。

怎么练？第一招：极端化。遇到概率直觉打架，把 3 换成 100，让直觉泵替你干活。第二招：盯住信息源。问一句「这个开门/开箱/排除的动作，是随机的还是被规则逼出来的？」答案立刻分岔。第三招：不服就模拟。二十行代码或者三张扑克牌玩几十局，比任何雄辩都管用。这类「直觉舒服但答案是错的」的思维陷阱远不止三门问题一个——想批量排雷，往下看。

常见问题

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