蒙提霍尔问题（Monty Hall problem，也就是常说的“三门问题”）和游戏节目 Deal or No Deal，给人的感觉都像是“坚持原来的选择，还是换一个”，但两者的概率结构并不一样。在三门问题里，主持人是知情的，他的动作会改变你对剩下那几扇门的推断。而在 Deal or No Deal 里，打开箱子通常只是亮出金额，并没有主持人引导你去选或避开某个特定选项。
简单说：在标准的蒙提霍尔设定里，换门占优，是因为主持人知道奖品在哪儿，并且故意避开它。这套推理不能直接照搬到开箱游戏上。
关键区别：信息由谁掌控？
标准的蒙提霍尔设定是这样的：
- 一共有三扇门：一扇后面有奖品，另外两扇后面没有。
- 你选一扇门。
- 主持人知道奖品在哪扇门后面。
- 主持人打开另一扇没有奖品的门。
- 主持人问你要不要换到剩下那扇没打开的门。
你第一次就选对的概率是 1/3。另外两扇门加起来，藏着奖品的概率是 2/3。主持人从这两扇门里排除掉一扇没奖的，这 2/3 的概率就全部集中到了剩下那扇你没选的门上。
所以换门的胜率是 2/3。
想看更完整的推导，可以读为什么蒙提霍尔问题不是 50/50。
相比之下，Deal or No Deal 里的箱子一般是按参赛者自己的选择打开的。你不知道箱子里装的是什么，所以金额低的箱子和金额高的箱子被选中的机会一样。亮出来的金额会影响你对剩余金额的估计，但不会产生那种来自知情主持人的“蒙提霍尔式”信号。
为什么“还剩两个选项”不等于 50/50
一个很有迷惑性的论证是这样的：
> 一扇门排除了，还剩两扇门，所以每扇门都有 50% 的概率。
这个论证忽略了第三扇门是怎么被排除掉的。
假设在蒙提霍尔游戏里，你选了 A 门。
| 奖品在哪扇门后 | 你最初选的门 | 主持人能开的门 | 换门能赢吗？ |
|---|---|---|---|
| A 门 | A 门 | B 门或 C 门 | 不能 |
| B 门 | A 门 | C 门 | 能 |
| C 门 | A 门 | B 门 | 能 |
在三种可能性相同的情况里，你最初只在其中一种情况下选对了。另外两种情况，换门都能赢。
现在只改一个条件：开门的不再是知情的主持人，而是某个人从你没选的两扇门里随便打开一扇，碰巧后面没有奖品。这件事同样提供了信息，但概率就不一样了。
如果你第一次就选对了，随便开哪扇门，后面都肯定没有奖品。如果你第一次选错了，随便开门的人只有 1/2 的概率能避开奖品。在“开出来的门后没有奖品”这个条件下，你最初选对的概率就变成了 1/2。在这个改过的游戏里，剩下两扇没开的门才真的是 50/50。
所以要记住的不是“永远要换”，而是：先弄清楚信息是怎么产生的。
Deal or No Deal 能告诉你什么，不能告诉你什么
在典型的开箱游戏里，你先选定一个箱子留着不开，然后去打开其他箱子。每打开一个箱子，你就确切知道哪个金额已经出局了。这是有用的信息，因为它改变了那些没打开的箱子里可能出现的结果。
但它通常说明不了：和另一个没打开的特定箱子相比，你自己的箱子装着某个金额的可能性是变大了还是变小了。
假设四个箱子里分别装着 1 美元、10 美元、100 美元和 1,000 美元。你选定一个箱子，然后另外独立地挑一个箱子打开，里面是 1 美元。
还剩三个箱子：你的，加上另外两个。剩下的金额是 10 美元、100 美元和 1,000 美元。在没有更多信息之前，每个没打开的箱子装着其中任一金额的概率都是 1/3。
如果之后你把自己的箱子换成另一个没打开的特定箱子，两个箱子谁也没有先天的概率优势。它们是可互换的：对剩下的几个金额来说，每个箱子的概率分布都一模一样。
这和蒙提霍尔问题不同，因为这里没有哪个知情的人在打开“输”的选项时刻意把奖品保护起来。
一步步看条件概率
条件概率（conditional probability）就是在观察到证据之后，更新你原先的估计。关键在于：这个证据在某种隐藏状态下，是不是比在另一种状态下更可能出现？
蒙提霍尔问题
用“坚持会赢”表示你第一次选的门后面就有奖品。
- 主持人开门之前，“坚持会赢”的概率是 1/3。
- 如果坚持会赢，两扇没奖的门主持人随便开哪扇都行。
- 如果坚持会输，主持人只有一扇门可开：另一扇没奖的门。
主持人开哪扇门，受奖品位置的约束，他的动作不是随机噪声。它让“你第一次选错”的概率保持在原来的 2/3，而换门正好把这 2/3 收入囊中。
普通的开箱
假设你选定一个箱子，然后在不知道里面金额的情况下，挑了另一个箱子打开。
- 开箱规则和头奖在哪个箱子里没有关系。
- 看到一个小金额，只说明这个小金额出局了。
- 它不会让某个没打开的箱子变成特殊的受益者，独得 2/3 的概率。
你该更新的是剩下还有哪些可能的金额，而不是假装某个特定的箱子继承了所有被淘汰箱子的概率。
快速自测：哪个游戏换了更划算？
先自己想一想，再看答案。
你从三个盒子里选一个，其中一个装着奖品。主持人知道每个盒子里装着什么，他打开一个你没选的空盒子，然后问你要不要换。你该换吗？
A. 不该，因为还剩两个盒子。 B. 该换，因为你原来那个盒子只有 1/3 的概率是对的。 C. 换不换都一样，因为主持人打开的是空盒子。 D. 该换，但前提是主持人是随机开的盒子。
答案：B。你最初选的盒子里有奖品的概率是 1/3。主持人知情地打开一个空盒子后，剩下那个没开的盒子，就承载了“你第一次选错”的 2/3 概率。
其他选项错在哪里：
- A 把剩下的两个盒子当成对称的，却忽略了主持人的选择是受约束的。
- C 注意到了主持人开的是空盒子，却没想到他为什么一定会开出空盒子。
- D 把逻辑弄反了。随机开盒会改变计算结果；标准情形下的优势，恰恰来自知情、而且会避开奖品的主持人。
现在换个条件：你从三个箱子里选一个，然后从另外两个里随机打开一个，碰巧是空的。在这个版本里，以“开出空箱”为条件，坚持和换的胜率完全一样。分界线就在于主持人是否知情。
面对银行开价时，这有什么用？
Deal or No Deal 不只是猜头奖在哪个箱子里。实际要做的选择，通常是在一个确定的开价和一组不确定的剩余金额之间二选一。
比较稳妥的思路是：
- 列出还在场上的金额。
- 除非规则提供了额外信息，否则就认为每个没打开的箱子装着任一剩余金额的可能性都相同。
- 算出剩余金额的平均值，作为参照基准。
- 把开价和这个平均值作比较，同时也要考虑自己能承受多大的风险。
比如，剩下的金额是 1 美元、100 美元和 1,000 美元，平均值就是：
\[ (1 + 100 + 1000) / 3 = 367 \]
低于 367 美元的开价，就低于剩余金额的简单平均值。但光凭这一点还不能替你拍板：有人宁愿拿一笔稳到手的钱，也不想去赌有风险的结果，这完全合理。不过它确实说明了，“我觉得自己最初选的箱子运气好”并不是基于概率的理由。
别把蒙提霍尔问题里的换门规则搬到这个决定里。在标准的开箱设定下，把你选的箱子换成剩下的某个指定箱子，并不能提高你的期望值。
常见问题
蒙提霍尔问题和 Deal or No Deal 是一回事吗？
不是。蒙提霍尔问题依赖一位知情的主持人，他会故意打开一扇没奖的门。在 Deal or No Deal 里，参赛者的选择通常只是亮出金额，没有经过这种知情的筛选，所以剩下的哪个箱子都不会因为“换”而获得优势。
为什么换门在蒙提霍尔问题里管用，在开箱游戏里却不管用？
在蒙提霍尔问题里，你最初的选择有 2/3 的概率是错的，而主持人的规则会亮出一个“输”的选项，同时不会亮出奖品。在开箱游戏里，打开一个箱子只是去掉一个金额，一般不会让你的箱子和另一个没打开的箱子有什么区别。
在 Deal or No Deal 里开出了几个小金额，我该换箱子吗？
不能仅仅因为开出了小金额就换。小金额被淘汰后，剩余箱子的平均金额会提高，但每个没打开的箱子都平等地分享这组变好了的可能性。
如果主持人随机开门，蒙提霍尔问题的换门胜率还是 2/3 吗？
不是。如果主持人随机打开一扇你没选的门，碰巧后面没有奖品，那剩下两扇没开的门就是 50/50。标准的 2/3 结论有个前提：主持人知道奖品在哪儿，而且总会避免把它亮出来。
套用蒙提霍尔的逻辑之前，该先问自己什么？
问一句：“如果隐藏的结果不一样，亮出信息的人会不会给我看别的东西？”如果会，他的动作就可能带有条件概率的信号。如果不会，就把亮出来的信息看作“哪些选项被淘汰了”，而不是某个剩余选项更占优势的理由。