蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）不是 50/50，因为主持人不是随机开门：他是刻意亮出一只山羊。你最初选的门保有 1/3 藏着汽车的概率，而你没选的两扇门合计从 2/3 的概率出发。当主持人从那对未选之门中移走一只山羊后，剩下那扇未选的门就承载着这 2/3 的概率。
2/3 这个答案背后的规则
大家熟悉的答案依赖于一套特定设置：
- 三扇门后藏着一辆汽车和两只山羊。
- 你选择一扇门。
- 主持人知道汽车在哪。
- 主持人总是打开另一扇门，且门后是山羊。
- 主持人总是给你换门的机会。
在这些规则下，坚持原选获胜的概率是 1/3，换门获胜的概率是 2/3。
关键时刻是你的第一次选择。在主持人行动之前，你有 1/3 的概率选中汽车，2/3 的概率选中山羊。开一扇山羊门这件事，丝毫不会提高你最初所选之门的概率。它仍然是一个 1/3 的赌注。
| 你的第一次选择 | 概率 | 主持人的行为 | 换门的结果 |
|---|---|---|---|
| 你选中了汽车 | 1/3 | 任开一扇山羊门 | 你输 |
| 你选中了山羊 | 2/3 | 只能开另一扇山羊门 | 你赢 |
“总是换门”的策略只在你第一次就选对时才会输。既然第一次选择有 2/3 的概率是错的，换门就有 2/3 的概率获胜。
三种可能的情形
假设你选择 1 号门。汽车在每扇门后的概率相等。
| 汽车位置 | 主持人开的门 | 可换的门 | 换门结果 |
|---|---|---|---|
| 1 号门 | 2 号门或 3 号门 | 另一扇山羊门 | 输 |
| 2 号门 | 3 号门 | 2 号门 | 赢 |
| 3 号门 | 2 号门 | 3 号门 | 赢 |
汽车的初始位置有三种等可能的情形，其中两种情形下换门获胜。
主持人的行为并不是靠魔法把概率从你原来的门转移到另一扇门上。它做的是：指认出最初那组未选之门中幸存下来的那一扇。那组门起初拥有全部概率的 2/3。由于主持人被迫从中移走一只山羊，这份概率最终集中到仍然关闭的那扇未选之门上。
为什么“只剩两扇门”这个理由不够
50/50 的直觉把两扇仍然关闭的门当成以相同方式走到最后一步的。事实并非如此。
你的门留下来，是因为你选了它。另一扇关闭的门留下来，是因为知道汽车位置的主持人，如果它后面是汽车就不能打开它。这是两种不同的筛选过程。
试着回答这个问题：主持人有可能打开那扇仍然关闭的门吗？
- 如果你第一次选中的是山羊，不可能。剩下那扇门后是汽车，主持人必须让它关着。
- 如果你第一次选中的是汽车，主持人可以在两扇山羊门之间任选。
这种不对称，正是“只剩两扇门，所以 50/50”这个论证中缺失的信息。
如果主持人随机开门，会发生什么变化？
2/3 这个结果并不是所有三门游戏的通用规则。主持人掌握的信息和被要求的行为方式都很重要。
设想另一种情况：主持人不知道汽车在哪，随机打开你没选的两扇门之一。如果他碰巧亮出的是山羊，那么坚持和换门的获胜概率就各是 1/2。
为什么？如果你最初选中了汽车，随机开门的主持人必然亮出山羊。如果你最初选中了山羊，主持人只有一半的机会亮出另一只山羊；另一半时候，他会不小心亮出汽车。一旦以“看到山羊”为条件（condition），这些可能性就相互抵消了。
在做任何蒙提霍尔计算之前，先问：
- 主持人知道奖品在哪吗？
- 主持人是否被要求必须亮出山羊？
- 主持人是否总是提供换门机会？
- 主持人的行为是否随汽车位置而改变？
这些是概率问题，不是故事细节。
具体开哪扇山羊门重要吗？
对“总是换门”策略的无条件成功率来说，不重要。只要你最初选的是山羊，换门就赢，所以在标准规则下换门有 2/3 的胜率。
但如果你以某扇特定的门被打开为条件来计算，答案就可能取决于主持人的“平局处理”策略。假设你选了 1 号门，主持人开了 3 号门。如果汽车在 2 号门后，主持人别无选择只能开 3 号门。如果汽车在 1 号门后，主持人本可以在 2 号门和 3 号门之间任选。
如果主持人在有得选时于可开的山羊门之间随机选择，那么 3 号门打开后，2 号门的概率是 2/3。如果主持人只要可能就总是开 3 号门，那么看到 3 号门打开就会得出不同的条件概率。宽泛的“换门 2/3”法则之所以依然成立，是因为它针对的是所有回合的整体策略，而不是某个未指明策略下的单次主持人行为。
快速解题法
当一个概率谜题看起来变成了 50/50，回到揭示之前的概率。
- 把你最初的选择标记为 1/3。
- 把两扇未选的门当作一个 2/3 的整体。
- 检查这次揭示是否是被迫从该组中移除一个失败选项。
- 如果是，就把这组的 2/3 概率放到剩下那扇未选的门上。
这个习惯的用处不止于游戏节目谜题。推理错误常常来自忽视证据是如何被筛选的。分析一个论证时，问问哪些信息本来可能出现、哪些被过滤掉了、过滤过程是否改变了证据所能支持的结论。这与如何应对 LSAT 逻辑缺陷题中使用的，是同一种严格的注意力。
100 扇门的版本让逻辑一目了然
现在想象 100 扇门。你选了一扇，所以它有 1/100 的概率藏着汽车。其余 99 扇门合计有 99/100 的概率。
主持人知道汽车在哪，打开了 98 扇山羊门，只留下你的门和另一扇门。换门就意味着拿走那扇代表原来 99/100 那一组的门。
几乎没有人会说那是 50/50，尽管同样只剩两扇门。三门版谜题只是同样的机制在更小尺度上的呈现。完整版本请读100 扇门的蒙提霍尔问题：为什么换门依然获胜。
检验你的直觉
在看答案之前，先解这道题：
> 你从三扇门中选择一扇。主持人知道汽车在哪，总是打开一扇未被选中的山羊门，并总是提供换门机会。你应该怎么做？
换门。你的第一次选择只有 1/3 的概率正确。每当你第一次选中的是山羊，主持人被迫的揭示都会让汽车留在你可以换过去的那扇门后。
在纸上试玩几轮。先记下汽车位置，再决定主持人开哪扇门。你会看到：凡是第一次选错的回合，换门都会获胜。然后到 PurrLearn 的蒙提霍尔问题测验中实际运用这条规则。
常见问题
为什么开一扇山羊门不会让蒙提霍尔问题变成 50/50？
因为原来那扇门的概率不会从 1/3 涨到 1/2。主持人受约束的行为是从两扇未选之门中移走一只山羊，而这两扇门最初合计持有 2/3 的概率。剩下那扇未选的门，是这 2/3 组合中的幸存者。
换门真的比坚持更好吗？
在标准规则下，是的。坚持只有在你第一次就选中汽车时获胜，概率为 1/3。换门在你第一次选中山羊时获胜，概率为 2/3。
主持人开哪扇山羊门有影响吗？
它不会改变“总是换门”的无条件 2/3 胜率。不过，如果你要在观察到某扇特定的门被打开之后计算概率，就需要知道主持人在两扇可开的山羊门之间如何选择。
如果主持人不知道汽车在哪呢？
那么标准答案可能不再适用。如果主持人随机打开一扇未选之门并碰巧亮出山羊，坚持和换门的胜率就各为 1/2。
蒙提霍尔问题属于演绎推理还是归纳推理？
一旦规则固定，概率计算就是演绎的（deductive）：结论从可能情形中必然得出。这个谜题还训练了一种实用的证据技能——把随机观察与受约束过程产生的信息区分开。关于这个区别，参见演绎推理与归纳推理：区别、示例与练习题。
结语
蒙提霍尔问题不是 50/50，因为主持人亮出山羊是知情且受约束的行为。让你最初的门保持在 1/3，让未选的那对门保持在 2/3，并注意到主持人所做的正是指认出那对门中留下的一扇。在标准规则下，换门是更好的选择。